语音处理-傅里叶分析和Z变换
时域与频域
•信号可以表示任何类型的序列测量
•信号通常表示序列时间上的测量
•信号分析的一项有用技术是将其分解为一组基本部分易于理解（例如线性趋势）
•分解为周期函数可以是将信号转换为“频域”（即时间上的重复可以表示为频率）f = 1/T(cycles-per-second/Hertz)
傅里叶分析(Fourier Analysis)
•约瑟夫·傅立叶（1768-1830）介绍定理：频率为f0的任何周期信号都可以通过加在一起精确地构造“正弦”（正弦波）与频率f0,2f0…
“傅立叶级数”中的每个正弦曲线其特征在于频率,振幅,阶段
f0被称为“基频fundamental frequency”;2f0,3f0等被称为“谐波harmonics”
光谱The Spectrum
•任何周期函数都可以是其特征在于振幅和正弦分量的相位
•周期信号仅具有频谱整数倍的组件基本（傅立叶定理）
•非周期和随机信号具有连续的光谱频率函数（即所有可能的频率）
•白噪声频谱平坦（即能量完全相等频率
功率谱
•前面的例子说明了“权力”光谱’，即每个频率有能量
•每个频率的信号功率为其实它的真实和虚分量的平方（例如，正弦波具有变化振幅但恒定功率）
•信息（相位关系）在功率谱的计算，所以这个表示原始信号无法准确地恢复
•然而，信号的频谱完全由每个频率的幅度和相位…这是“复杂光谱”
复谱The Complex Spectrum
真实光谱(笛卡尔协调)；想象光谱(笛卡尔协调)；功率谱(对立的协调)；幅度谱(对立的协调)；相位谱(对立的协调)
Real Spectrum; Imaginary Spectrum; Power Spectrum; Magnitude Spectrum; Phase Spectrum
笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates）就是直角坐标系和斜坐标系的统称。相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
傅里叶变换
•复谱（幅度和相位）为通过傅立叶变换从时间信号中获得转换’
•转换过程中不会丢失任何信息
•这意味着时间信号可以从用“逆傅里叶”方法计算复谱转换’
滤波（频域）
•信号可通过
1.将其变换到频域（使用DFT）
2.将信号频谱乘以滤波器频谱: y[n] = x[n]h[n]
3.将其转换回时域（使用IDFT）
另一种方法是描述过滤器在时间上的作用域（即在波形本身上）
•这是使用“差分方程”完成的
过滤（时域）
•考虑线性滤波器，其中:
x[kT] := x[k] 是输入;
y[kT] := y[k] 是输出
省略取样间隔T为了简单,k： 离散时间指数
差分方程与电流滤波器相关输出到当前和过去的输入和输出
•滤波器的设计可在“Z域”中完成
线性时间不变滤波器(Linear Time-Invariant Filters)
•“线性滤波器”遵循以下原则超级位置:
– if x1[k] yields y1[k] and input is a x1[k] + b x2[k] then y[n] = a y1[k] + b y2[k]
•“时间不变量”的响应过滤器”始终相同:
– if x[k] yields y[k] then x[k-k0] yields y[k-k0]
线性和时间不变性允许输入（和响应）时移脉冲的加权和δ[k]
Z变换
•时域滤波器分析（即使用差分方程）是麻烦的
•“Z变换”是幂级数离散时间序列的表示
•例如，对于序列x[0]x[1]x[2]x[3]，Z变换简单地将每个系数乘以
z的幂对应的序列到其索引
X(z)= x[0]z^0 + x[1]z^-1 +x[2]z^-2 +x[3]z^-3
•按照惯例，使用z的负幂对于正时间指数（即z^-k个表示k个样本的延迟）
该变换由Z｛…｝运算符表示:X(z)=Z{x[k]}
Z变换变换的关键属性是…
–线性度: Z{ax1[k]+bx2[k]} = a Z{x1[k]}+ b Z{x2[k]}
–时移: Z{x[k-k0]} = z^(-k0)Z{x[k]}
–卷积convolution: Z{x[k]*y[k]} = Z{x[k]}Z{y[k]}; 这可以用Z变换表示为乘积Y[z] =X[z] H[z]; 因此，“z平面传递函数”H[z]可以写成 H[z] = Y[z]/ X[z]
与傅里叶变换的链接
如果z>1，则变换等效于乘上升指数序列
•如果0<z<1，则转换等效于乘下降指数序列
•如果z是位于单位圆上的复数，则转换等效于将序列乘以实余弦和虚正弦(这与傅立叶变换直接等价！)
•因此，给定滤波器传递函数H[z]可以在任何频率下评估频率响应
ω通过设置: z= e^(jωT)
极点和零点
•线性滤波器传递函数（源自一般差分方程）可以写成二的比率z中的多项式H[z] = P[z] / Q[z]
P[z]=0的z值称为“零”H[z]
•Q[z]=0的z值称为“极点”H[z]
•极点对应于滤波器传输的频率函数趋于无穷大（即“共振”）
•零对应于滤波器传输的频率函数趋于零（即“反共振”）
•滤波器的特点完全在于其极点和零点
•极点和零点对应于差分方程
•他们可以通过在“Z平面”标出点被可视化
滤波器的幅度响应可以很快根据其极点的位置和零
•从极点/零点图开始，可以设计滤波器并获得其传递函数很容易…
滤波器频率响应
•滤波器的频率响应可以是使用距“单位”的距离绘制
圆到极点和零点
•在单位圆周围移动时…
–如果接近零，则幅度较小
–如果靠近极点，则震级较大
•如果单位圆上为零，则频率响应在该点为零
•如果极位于单位圆上，则频率响应达到无穷大指向点
过滤器响应：示例
•考虑以下简单平均滤波器差分方程y[k] = ay [k-1]+x [k]
•采用Z变换，这变成Y(z) = a Y(z) z^-1 +X(z)
