【算法】程序猿必备算法

news/2024/7/7 19:55:53

文章目录

    • 快速排序算法
    • 堆排序算法
    • 归并排序
    • 二分查找算法
    • BFPRT(线性查找算法)
    • DFS（深度优先搜索）
    • BFS(广度优先搜索)
    • Dijkstra算法
    • 动态规划算法
    • 朴素贝叶斯分类算法
    • Floyd Warshall算法
    • 贝尔曼福特算法
    • 贪心算法
    • 拓扑排序
    • 最小生成树
    • 分治算法
    • KMP
    • 暴力匹配
    • 更多
    • 来源

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快速排序算法

快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序 n 个项目要Ο(nlogn) 次比较。在最坏状况下则需要Ο(n2) 次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他Ο(nlogn) 算法更快，因为它的内部循环（innerloop）可以在大部分的架构上很有效率地被实现出来。

快速排序使用分治法（Divideandconquer）策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。

算法步骤：

  1. 从数列中挑出一个元素，称为「基准」（pivot），

  2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。

  3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会退出，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
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堆排序算法

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

堆排序的平均时间复杂度为Ο(nlogn)。

算法步骤：

  1. 创建一个堆 H[0…n-1]

  2. 把堆首（最大值）和堆尾互换

  3. 把堆的尺寸缩小 1，并调用 shift_down(0), 目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置

  4. 重复步骤 2，直到堆的尺寸为 1

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归并排序

归并排序（Mergesort，台湾译作：合并排序）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（DivideandConquer）的一个非常典型的应用。

算法步骤：

  1. 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列

  2. 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

  3. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置

  4. 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾

  5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

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二分查找算法

二分查找算法是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜素过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。折半搜索每次把搜索区域减少一半，时间复杂度为Ο(logn)。
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JavaScript代码实现：

let array = new Array(1, 3, 8, 10, 11, 67, 100);

let target = 67;

console.log(binarySearch(array, target));

function binarySearch(array, target) {
    if (Array.isArray(array)) {
        let left = 0;
        let right = array.length - 1;
        while (left <= right) {
            let middle = (left + right) / 2;
            if (target === array[middle]) {
                return middle;
            } else if (target > array[middle]) {
                left = middle + 1;
            } else {
                right = middle - 1;
            }
        }
        return -1;
    } else {
        return -1;
    }
}

BFPRT(线性查找算法)

BFPRT 算法解决的问题十分经典，即从某 n 个元素的序列中选出第 k 大（第 k 小）的元素，通过巧妙的分析，BFPRT 可以保证在最坏情况下仍为线性时间复杂度。该算法的思想与快速排序思想相似，当然，为使得算法在最坏情况下，依然能达到 o(n) 的时间复杂度，五位算法作者做了精妙的处理。

算法步骤：

  1. 将 n 个元素每 5 个一组，分成 n/5(上界) 组。

  2. 取出每一组的中位数，任意排序方法，比如插入排序。

  3. 递归的调用 selection 算法查找上一步中所有中位数的中位数，设为 x，偶数个中位数的情况下设定为选取中间小的一个。

  4. 用 x 来分割数组，设小于等于 x 的个数为 k，大于 x 的个数即为 n-k。

  5. 若 i==k，返回 x；若 i<k，在小于 x 的元素中递归查找第 i 小的元素；若 i>k，在大于 x 的元素中递归查找第 i-k 小的元素。

终止条件：n=1 时，返回的即是 i 小元素。

DFS（深度优先搜索）

深度优先搜索算法（Depth-First-Search），是搜索算法的一种。它沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点 v 的所有边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点 v 的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。DFS 属于盲目搜索。

深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题，如最大路径问题等等。一般用堆数据结构来辅助实现 DFS 算法。

深度优先遍历图算法步骤：

  1. 访问顶点 v；

  2. 依次从 v 的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和 v 有路径相通的顶点都被访问；

  3. 若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

上述描述可能比较抽象，举个实例：

DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的任一邻接顶点 w1；再从 w1 出发，访问与 w1 邻接但还没有访问过的顶点 w2；然后再从 w2 出发，进行类似的访问，…如此进行下去，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。

接着，退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问；如果没有，就再退回一步进行搜索。重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为止。
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BFS(广度优先搜索)

广度优先搜索算法（Breadth-First-Search），是一种图形搜索算法。简单的说，BFS 是从根节点开始，沿着树 (图) 的宽度遍历树 (图) 的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。BFS 同样属于盲目搜索。一般用队列数据结构来辅助实现 BFS 算法。

算法步骤：

  1. 首先将根节点放入队列中。

  2. 从队列中取出第一个节点，并检验它是否为目标。

如果找到目标，则结束搜寻并回传结果。

否则将它所有尚未检验过的直接子节点加入队列中。

  1. 若队列为空，表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传「找不到目标」。

  2. 重复步骤 2。

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Dijkstra算法

戴克斯特拉算法（Dijkstra』salgorithm）是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉提出。迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决非负权有向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。

该算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连。我们以 E 表示 G 中所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w:E→[0,∞] 定义。因此，w(u,v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负权重（weight）。边的权重可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的权重，就是该路径上所有边的权重总和。已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低权重路径 (例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。对于不含负权的有向图，Dijkstra 算法是目前已知的最快的单源最短路径算法。

算法步骤：

  1. 初始时令 S={V0},T={其余顶点}，T 中顶点对应的距离值

若存在，d(V0,Vi) 为弧上的权值

若不存在，d(V0,Vi) 为∞

  1. 从 T 中选取一个其距离值为最小的顶点 W 且不在 S 中，加入 S

  2. 对其余 T 中顶点的距离值进行修改：若加进 W 作中间顶点，从 V0 到 Vi 的距离值缩短，则修改此距离值

重复上述步骤 2、3，直到 S 中包含所有顶点，即 W=Vi 为止

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动态规划算法

动态规划（Dynamicprogramming）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。

关于动态规划最经典的问题当属背包问题。

算法步骤：

  1. 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。

  2. 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。
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    Java代码实现：

public static void main(String[] args) {
    int[] wight = new int[]{1, 4, 3}; // 物品的重量
    int[] price = new int[]{1500, 3000, 2000}; // 物品的价格
    int m = 4; // 背包的容量
    int n = price.length; // 物品的个数

    // 创建一个二维数组
    // v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
    int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
    // 初始化第一行和第一列，这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
    for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        v[i][0] = 0; // 将第一列设置为0
    }
    for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        v[0][i] = 0; // 将第一行设置为0
    }

    // 为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
    int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

    // 动态规划处理背包问题
    // i和j初始都等于1，目的是不处理第一行第一列
    for (int i = 1; i < v.length; i++) {
        for (int j = 1; j < v[i].length; j++) {
            // 公式
            if (wight[i - 1] > j) { // 因为我们程序i是从1开始的，因此原理公式中的w[i]修改成[i-1]
                v[i][j] = v[i - 1][j];
            } else {
                // 因为 i 是从1开始的，因此公式需要做出调整，如下所示
                // v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], price[i - 1] + v[i - 1][j - wight[i - 1]]);
                if (v[i - 1][j] < price[i - 1] + v[i - 1][j - wight[i - 1]]) {
                    v[i][j] = price[i - 1] + v[i - 1][j - wight[i - 1]];
                    // 把当前的情况记录到path
                    path[i][j] = 1;
                } else {
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                }
            }
        }
    }

    // 输出v
    for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
            System.out.print(v[i][j] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    // 输出放入的商品情况
    int i = path.length - 1; // 行的最大下标
    int j = path[0].length - 1; // 列的最大下标
    while (i > 0 && j > 0) {
        if (path[i][j] == 1) {
            System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
            j -= wight[i - 1];
        }
        i--;
    }
}

朴素贝叶斯分类算法

朴素贝叶斯分类算法是一种基于贝叶斯定理的简单概率分类算法。贝叶斯分类的基础是概率推理，就是在各种条件的存在不确定，仅知其出现概率的情况下，如何完成推理和决策任务。概率推理是与确定性推理相对应的。而朴素贝叶斯分类器是基于独立假设的，即假设样本每个特征与其他特征都不相关。

朴素贝叶斯分类器依靠精确的自然概率模型，在有监督学习的样本集中能获取得非常好的分类效果。在许多实际应用中，朴素贝叶斯模型参数估计使用最大似然估计方法，换言之朴素贝叶斯模型能工作并没有用到贝叶斯概率或者任何贝叶斯模型。

尽管是带着这些朴素思想和过于简单化的假设，但朴素贝叶斯分类器在很多复杂的现实情形中仍能够取得相当好的效果。
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Floyd Warshall算法

Floyd-Warshall算法，中文称弗洛伊德算法或佛洛伊德算法，是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权（但不可存在负权回路）的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
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贝尔曼福特算法

贝尔曼福特算法是求解单元最短路径问题的一种算法，由理查德贝尔曼和莱斯特福特创立的。有时候这种算法也被称为Moore-Bellman-ford算法，因为Edward F . Moore也为这个算法的发展做出了贡献。

它的原理是对图进行|V|-1次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪克斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达O(|V||E|）。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。
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贪心算法

顾名思义，贪心法，贪心算法总是做出在当前看来是最好的选择。虽然贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题都能产生整体最优解或是问题的次优解。因此有很好使用它的必要性。贪心算法既是一种解题策略，也是一种解题思路。
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拓扑排序

拓扑排序是一种把有向无环图转换成线性序列的排序算法，算法的输入是一个有向无环图，经过算法分析吧图中的所有节点按照先后顺序进行拆解，最后得到一个有顺序的队列，在前的节点靠前，越靠后的节点或有多个节点指向该节点，那这个节点再队列中的位置就越靠后。
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最小生成树

最小生成树问题，简称MST，指给定一个带权的无向连通图，如果选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树。

图有N个顶点，就一定有N-1条边，且必须包含所有顶点，所有边都在图中。解决最小生成树问题的算法主要有普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。
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分治算法

分治法（Divide-and-Conquer）是一种很重要的算法。字面上的解释是"分而治之"，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)…
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分治算法的基本实现步骤（分治法在每一层递归上都有三个步骤）：

  1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
  2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
  3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解

JavaScript代码实现：

function towerOfHanoi(discNum, a, b , c) {
    if (discNum === 1) {
        console.log("第1个盘" + a + "->" + c);
    } else {
        towerOfHanoi(discNum - 1, a, c, b);
        console.log("第" + discNum + "个盘" + a + "->" + c);
        towerOfHanoi(discNum - 1, b, a ,c);
    }
}

towerOfHanoi(3, "A", "B", "C");

KMP

KMP是Knuth、Morris和Pratt首字母的缩写，KMP也是由这三位学者发明（1977年联合发表论文）。

KMP主要应用在字符串的匹配，是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，得出最早出现的位置的经典算法。其主要思想是：当出现字符串不匹配时，可以知道之前已经匹配的文本内容，可以利用这些信息避免从头再去匹配，从而提高匹配效率。

因此如何记录已经匹配的文本内容，才是KMP的重点~这也使得next数组派上了用场。

KMP算法就利用之前判断过信息，通过一个 next 数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过 next 数组找到前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间。
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暴力匹配

现给出一段字符串str1：“硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好”，和一段子字符串str2：“尚硅谷你”。

要求写出判断str1是否含有str2的代码，如果存在就返回第一次出现的位置，如果没有则返回-1。

说到字符串匹配，我们第一时间想到的是直接遍历字符串，看看是否存在。这种方法称为暴力匹配，抛开效率不说，这种方式是最直接，最简单的方式。

然而暴力匹配也是一种算法，一种解决方案，针对上述问题，我们可以得出暴力匹配算法的思路（假设现在 str1 匹配到 i 位置，子串 str2 匹配到 j 位置）：

  1. 如果当前字符匹配成功（即 str1[i] == str2[j]），则 i++，j++，继续匹配下一个字符
  2. 如果失配（即 str1[i] != str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j
    被置为 0
  3. 用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间(不可行!)

JavaScript代码实现：

function violenceMatch(str1, str2) {
    let s1 = Array.from(str1);
    let s2 = Array.from(str2);

    let i = 0;
    let j = 0;

    while (i < s1.length && j < s2.length) {
        if (s1[i] === s2[j]) {
            i++;
            j++;
        } else {
            i = i - (j - 1);
            j = 0;
        }
    }
    if (j === s2.length) {
        return i - j;
    }
    return -1;
}

function main() {
    let str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";
    let str2 = "尚硅谷你";
    console.log(violenceMatch(str1, str2));
}

main();

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来源

程序员必会的十大算法
程序员必会10种算法
程序员必须掌握哪些算法？
干货 | 程序员必须知道的十大基础实用算法及其讲解


http://lihuaxi.xjx100.cn/news/796583.html

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