泰勒公式专题 拉格朗日余项与佩亚诺余项,麦克劳林公式

1. 泰勒公式原理

泰勒公式，也即泰勒展开式。在进行数学计算时，给定一个函数$f(x)$，如果该函数满足一定的条件（如n阶可导等），则们可以将其写成多项式的形式，以达到化繁为简，解决问题的目的。

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n次多项式的通式如下所示：
 
        $P_n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+...+a_n{x}^n$
 

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仿照该通式，给定函数$f(x)$，并指定点 $x_0$， 关于$x_0$可以将已知函数$f(x)$写成多项式$P_n$的形式如下式所示：
 
    $P_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+$
 
         $\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$
 
         $={\sum }_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i$
 
则
         $f(x)=p_n(x)+R_n(x)$
 
其中，参照点$x_0$为0的泰勒公式称为麦克劳林公式。
 
此外,式子中的$R_n(x)$ 是使用 $P_n(x)$ 近似 $f(x)$ 的误差，该误差被称为余项。
该余项有两种表示方式，一种是拉格朗日余项，一种是佩亚诺余项。
 

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2. 具有 拉格朗日余项 的 泰勒公式。

拉格朗日余项可以写作
 
         $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$
 
此时泰勒定理可以叙述为：
 
  设$f(x)$在闭区间[a,b]有n阶连续的导数，在开区间(a,b)内有直到n+1阶导数，
$x_0\in [a,b]$，$x\in [a,b]$是任意两点，则至少存在一点$\xi$介于$x$和$x_0$之间，使得
 
       $f(x)={\sum }_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$
成立。
 
由公式可见，拉格朗日余项对误差的存在持肯定态度。在含有拉格朗日余项的泰勒公式中，误差的大小与指定的公式阶数有关，该误差是不可避免的，只能尽可能地减小它。公式的阶数越高（n越大），误差就越小。反之，阶数越低，则误差越大。
这个思想，与机器学习中的梯度下降法有些相似（但不相同），当然泰勒公式在机器学习中的主要应用也是梯度迭代。在很多技术应用时，很多情况下计算达到一定的精度，即可满足我们的需求了，而不追求百分百准确。

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具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式，即拉格朗日中值公式：
 
        $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x-x_0)$
 

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3. 具有 佩亚诺余项 的 泰勒公式

虽然函数经过具有拉格朗日余项的泰勒公式变化后的误差项（余项），无法消除。
但是，在佩亚诺余项将该误差写成了极限的形式。这使得我们在研究极限问题$x\to x_0$时，
佩亚诺余项会以一个高阶无穷小的形式参与运算，进而得到精准的结果。

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因此在运用泰勒公式求极限的时候，一定要写佩亚诺余项。
 
佩亚诺余项可写作：
 
           $R_n=o((x-x_0{)}^n)$
 
    其中，佩诺亚余项$R_n(x)是(x-x_0{)}^n$的高阶无穷小，即$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o((x-x_0{)}^n)}{(x-x_0{)}^n}=0$。
 
则此时泰勒定理可以叙述为：
 
设$f(x)$在闭区间$[a,b]$具有n阶导数（这就意味着f(x)在$x=x_0$的某邻域内应具有$n-1$阶导数，且$f^{n-1}(x)$在$x=x_0$处连续），x为$x_0$的充分小的邻域内的一点，则有
 
       $f(x)={\sum }_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+o((x-x_0{)}^n)$

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具有佩诺亚余项的1阶泰勒公式，也即微分与增量之间的关系式：
 
      $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0))$

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4. 麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。$x_0=0$时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
常用的 含佩亚诺余项 的 麦克劳林公式如下：
 
   $e^x={\sum }_{i=0}^n\frac{1}{i!}{x}^i+o(x^n)=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+...+\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

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对$f(x)=\sin x$，$x_0=0$
 
其麦克劳林公式第一项为0阶导数项，即未求导项，$sin(0)=0$
第二项，第三项，第四项，第五项，依次为：
 
   一阶导数项：${\sin }^{\prime }{x}_0=\cos x_0$，    符号为正
   二阶导数项：${\cos }^{\prime }{x}_0=-sin{x}_0$，    值为0
   三阶导数项：$(-\sin x_0{)}^{\prime }=-\cos x_0$， 符号为负
   四阶导数项：$(-\cos x_0{)}^{\prime }=\sin x_0$，  值为0
 
即对 $\sin x$ 每求四阶导数就会循环一次，
 
故第一项$sin0$（未求导项），第三项（二阶导数项），第五项（四阶导数项），第七项（六阶导数项）…都为零，因此可以忽略掉。
第2，6，10，14…项符号位正，
第4，8，12，16…项符号为负。
 
所以$sinx$的麦克劳林公式可以表示为：
 
$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+\frac{1}{9!}{x}^9-...+\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+2})$
 
其中，佩亚诺余项这里表示为$o(x^{2n+2})$，因为第$x^{2n+2}$项为0。所以这里如果将佩诺亚余项写为$o(x^{2n+1})$也是可以的，不会影响计算的结果。至于具体写成哪一种形式，要根据计算的具体过程而定，选择更有利的写法。
 
下边给出四组极限计算示例，以供理解选择$o(x^{2n+1})$还是$o(x^{2n+2})$：
 
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+o(x^2)}{x^{2}ln2}=\frac{1}{\ln 2}+0=\frac{1}{\ln 2}$
 
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+o(x^3)}{x^{2}ln2}=\frac{1}{\ln 2}+\frac{o(x^3)x}{x^3\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}+0\cdot 0=\frac{1}{\ln 2}$
 
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+o(x^2)}{x^{3}ln2}=0+0\cdot \infty$
   此时出现了$0\cdot \infty$，表明选择$o(x^2)$不合适，计算无法继续进行。
 
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+o(x^3)}{x^{3}ln2}=0+0=0$   选择$o(x^3)$后，问题随之解决。

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常用的含有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以汇总为：
 
$e^x={\sum }_{i=0}^n\frac{1}{i!}{x}^i+o(x^n)=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+...+\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$
 
$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+\frac{1}{9!}{x}^9-...+\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+2})$
 (佩亚诺余项也可以根据需求，写成$o(x^{2n+1})$）
 
$\cos x=x-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6}{x}^6+\frac{1}{8!}{x}^8-...+\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n)!}{x}^{2n}+o(x^{2n+1})$
 （同理，佩亚诺余项也可以根据需求，写成$o(x^{2n})$）
 
$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
 
$(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+...+\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$
 
$\frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+o(x^n)$

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