前置知识：函数的间断点
设 f ( x ) = { e 1 x − 1 , x > 0 ln ( 1 + x ) − 1 , − 1 < x ≤ 0 f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{\frac{1}{x-1}},\qquad \qquad \qquad x>0 \\\ln(1+x)-1,\quad -1<x\leq 0\end{matrix}\right. f(x)={ex−11,x>0ln(1+x)−1,−1<x≤0，求 f ( x ) f(x) f(x)的间断点，并判断其类型。
解：
\qquad
在
x
=
0
x=0
x=0处
lim x → 0 − f ( x ) = lim x → 0 − ln ( 1 + x ) = 0 \qquad \lim\limits_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\ln(1+x)=0 x→0−limf(x)=x→0−limln(1+x)=0
lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + e 1 x − 1 = 1 e \qquad \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}e^{\frac{1}{x-1}}=\dfrac 1e x→0+limf(x)=x→0+limex−11=e1
\qquad 左极限 ≠ \neq =右极限，所以 x = 0 x=0 x=0为跳跃间断点
\qquad 在 x = 1 x=1 x=1处
lim x → 1 − f ( x ) = lim x → 1 − e 1 x − 1 = 0 \qquad \lim\limits_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}e^{\frac{1}{x-1}}=0 x→1−limf(x)=x→1−limex−11=0
lim x → 1 − + f ( x ) = lim x → 1 + e 1 x − 1 = + ∞ \qquad \lim\limits_{x\rightarrow 1^-+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}e^{\frac{1}{x-1}}=+\infty x→1−+limf(x)=x→1+limex−11=+∞
\qquad 右极限不存在，所以 x = 1 x=1 x=1为第二类间断点
