知识总览

先把知识都罗列出来，然后我们看着目录来学习就好了。

我们还未整理完，会随着自己的学习同步更新的，同时我发现网上有很多已经整理好的帖子，咱们在同步更新的时候也要参考他们的整理方式一起学习(因为他们已经考过一遍了，真的很精炼哈)
我们整理完复习完知识以后，一定要学习这些作者，用简明的几句话，描述一章的脉络，以及为什么一章的脉络（知识点）要这样来安排，以及这样安排有什么用，这样才是真的学懂了矩阵论。(假如自己是徐涛或腿姐那样的老师，怎样用一种脉络，让学生在浩如烟海的知识里简洁明快的了解一章要干什么，一章要学什么，还能把一章知识彻底的记住。实际上自己做科研的话也要追求这样的理解)
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矩阵理论学习笔记

第一章 线性空间和线性变换

1.1 线性空间

• 集合与映射
• 线性空间的定义和性质
• 线性空间的基
• 线性子空间

1.2 线性映射,线性函数，线性变换及它们的矩阵表示

• 矩阵在线性映射研究中的应用；
• 线性映射在矩阵研究中的应用；
• 线性函数
• 线性变换
• 线性映射

1.3 线性变换的表示

• 线性变换的特征值和特征向量
• 相似变换
• Hamilton-Cayley定理
• 矩阵的最小多项式
• 不变子空间
• 线性变换可对角化条件
• 若当(Jordan)标准形；

1.4欧氏(Euclid)空间和酉空间

• 向量内积
• 向量长度
• Schwarz不等式
• 正交性
• 正交变换及其正交矩阵表示
• 正交矩阵的性质
• 对称变换和对称矩阵
• 酉空间介绍
• 酉变换和酉矩阵
• Heirmite变换和Hermite矩阵
• Heirmite矩阵的谱分解
• Gram-Schmidt正交化过程

第一章 线性空间和线性变换

1.1 线性空间

• 集合与映射
• 线性空间的定义和性质
• 线性空间的基
• 线性子空间
  推荐参考矩阵论知识点,矩阵论核心知识点这两个网址来学习

集合与映射

集合

• 集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
• 集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；
  集合中元素没有重合(统计中的采样可以重合)，子集，元素。

映射

每个人都看得懂的映射（单射、满射、双射）
映射的定义

• 设$S，S^{\prime }$为给定的集合(可以相同也可以不同),定义一个规则$\sigma ：S\to S’$, 使得S中元素a和S’中唯一一个元素对应， 记为$a^{\prime }=\sigma (a)$,或$\sigma ：a\to a^{\prime }$.
• 映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S’中仅有唯一的一个元素和它对应。 （自己的碎碎念:可以把映射当成一种函数来处理）
• 映射的原象，象；映射的复合。满射,单射,一一映射。
• 若$S^{\prime }$和$S$相同，则称$\sigma$为变换。
• 若$S^{\prime }$为数域，则称$\sigma$为函数。
• 由单点映射导出的集值映射。
  单点映射和极值映射
• 映射 $\sigma :S\to S^{\prime }$是将S中的每个元素映射为S’中的唯一一个元素，看成是单点映射，也就是将S中的每一个点(元素)映射为S’中的一个点(元素)。
• 基于映射$\sigma$我们可以导出关于S的子集和S’的子集之间的一个映射$\sigma$
  和逆映射${\sigma }^{-1}$ ，我们称它们为集值映射，它们在将S的子集和S’的子集之间建立对应：$\sigma ：2^s\to 2^{s^{\prime }}$， ${\sigma }^{-1}：2^{s^{\prime }}\to 2^s$
  (注:对于两个集合 ，如果按照一个对应关系(规则)，使得对于 中的每一元素 ，都有 中的一个(几个)确定的元素 与之对应，那么我们把这个对应关系叫做集合 到集合 的单值(多值)映射，多值映射也称“集值映射”集值映射)
  极值映射的性质这页应该不重要

线性空间的定义及性质

通俗来说，空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足下面8条性质的向量集合。

线性空间的定义

定义1.1 设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件:

• 在V中定义一个加法运算，即当$x,y\in V$时，有惟一的$x+y\in V$，且加法运算满足下列性质

  1. 结合律x+(Y+z)=(X+Y)+Z
  2. 交换律X+y=y + x;
  3. 存在零元素0，使x+0=x；
  4. 存在负元素，即对任何一向量x \in V，存在向量Y，x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有x+(-x)=0

• 在V中定义数乘运算，即当$x\in V,k\in K$，有唯一的$kx\in v$,且数乘运算满足下列性质
  5. 数因子分配律k(x+y)=kx+ky；
  6. 分配律 (k+l) x = kx + lx ;
  7. 结合律 k(lx) = (kl) x ;
  8. 1 x = x

则称V为数域K一上的线性空间或向量空间。

• 特别地，当K为实数域R时，则称v为实线性空间；
• 当K为复数域c时，则称v为复线性（酉）空间。

(自己的碎碎念，我们做题目的时候，就是验证满足不满足这八条性质，简要来说就是:满不满足加法四条性质，满不满足数乘四条性质)

线性空间中，向量的关系

线性相关

若存在一组不全为零的数$c_1,c_2,\dots ,c_m$,使得$c_1{x}_1+c_2{x}_2+\dots +c_m{x}_m=0$，则称向量组$x_1,x_2,\dots ,x_m$线性相关，否则为线性无关。

极大线性无关组

一个不可能再往里添加向量而保持它们的线性无关性的向量组。

• 公理1(有限维空间的基本假设)线性无关组总是可以扩充为极大线性无关组
  (PPT中有证明)(自己的碎碎念:证明一定要跟一遍，不然在考试的那么短的时间里，根本没法写出靠谱的证明过程)
• 引理1.2：在一个线性空间中任两个极大线性无关组若它们的所含向量个数都有限，则所含向量个数一定相同
  (PPT中有证明)

线性空间的维数

(定义)线性空间V的维数：V中极大线性无关组的所含向量的个数，定义为线性空间的维数。维数有限的称为有限维空间，否则称为无穷维空间

这个定义之所以有意义，是因为在引理1.2中我们证明了极大线性无关组的个数是相同的。

(PS:本课程仅仅研究有限维空间，这里得到的结论有些可以直接推广到无穷维空间，但有些却不可能。必须小心！在后面的讨论中我们仅仅讨论有限维空间，而不一一说明)

线性空间的基

若线性空间V的向量$x1,x2,\dots ,xr$满足

1. $x_1,x_2,\dots ,x_r$线性无关；
2. V中的任意向量x都是$x_1,x_2,\dots ,x_r$的线性组合,即
   $$x=\sum _{k=1}^n{a}_k{x}_k$$
   则称$x1,x2,\dots ,xr$为V的一个基或基底，相应地称$xi$为基向量。{ 特别强调组成基的向量排列是有顺序的}