萧箫 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI

欧拉、欧几里得、笛卡尔、尼科马修斯都没能解决的千年数学问题，还有破解的可能吗？

还真有可能。

最近，一位名为佩斯·尼尔森 （Pace Nielsen）的数学家开辟了一种新方法，给这个“千年难题”提供了别样的解决思路。

这个数学问题是奇数完美猜想，事实上，它的定义非常简单：

是否存在一个奇数，使得它是完美数？

然而，这个“简单问题”却在证明过程中变得越来越复杂，甚至成了数学上悬而未解的“疑案”。

有“完美”的奇数吗？

首先来解决一个概念：“完美数”是什么？

这个数最早被毕达哥拉斯发现，他给出了完美数的定义：

一个完美数（必须是自然数），如果将它除了自身以外的所有因数相加，等于它自己。

例如，6就是一个完美数。

由于6=1×6=2×3，所以6除了自己以外，它的约数还有1、2、3。

可以看见，这三个约数的和为1+2+3=6，恰好等于6自己。

除了6以外，还有28、496、8128……

根据这些排列出来的数，欧几里得设计了一个公式，用来生成完美数。

假设一个质数p，而2 ^ p - 1 （2的p次方-1）也同样是一个质数，那么

2^(p-1)×(2^p-1)就会是一个质数。

问题被解决了？

没有。

2000年后，欧拉研究这个问题时发现，欧几里得给出的公式，实际上只能生成完美数中的每个偶数。

数学家尼科马修斯（Nicomachus）下过定论，“完美数只能是偶数”，但没有证明。

也就是说，没人知道完美奇数猜想是否正确——到底存不存在这样的奇数（Odd Perfect Numbers，简称OPN），使得它是完美数？

问题吸引了不少数学家研究，OPN的限制条件也开始被提出：不能被105整除；任何OPN都必须大于10的2000次方……

限制条件越来越多，OPN存在的可能性也在被缩小——像渔夫“收网”一样，越来越多的奇数正在被排除。

根据数学上的定理，如果两个限制条件互相矛盾，那么OPN就不可能存在。

然而，随着限制条件越来越多，条件之间却没有一点矛盾的迹象，导致这个猜想一直没被证明。

对此，数学家约翰·沃伊特表示：证明一种事物的存在非常简单，但证明它不存在，却要困难得多。

“收网”行不通，试试找相似

与众多研究“完美奇数猜想”的数学家一样，尼尔森一开始也试图增加OPN的限制条件，以证明它不存在。

但他发现，这样的证明方法会随着限制条件的增加变得十分复杂。

为此，尼尔森研究前人的成果，发现了笛卡尔留下的“欺骗数”（spoof number）。

事实上，这是笛卡尔试图证明“完美奇数”存在的一个失败案例：他假装某些数是质数，以此得出了一个假冒版的“完美奇数”。

例如，198585576189是一个巨大的数，而22021是它的一个因数。

笛卡尔在证明过程中，假装22021是质数，将它和198585576189的其他因数相加，就等于198585576189自己，符合“完美奇数”的定义。

其实，22021等于19×19×61，这个数也因此成为了一个“欺骗数”。

此外，后人还在笛卡尔研究的基础上，弄了一个“恶搞版”欺骗数——他假设负数也能成为完美数（完美数只能是自然数），证明了−22017975903是所有因数的和。

但如果将这种“欺骗数”用来证明“完美奇数”不存在呢？

尼尔森与研究团队用了几年时间，找出了所有的“欺骗数”，并开始研究这些欺骗数的特点。

他提出了自己的观点：“完美奇数”应该具有“欺骗数”的一切特性，而且还自带特殊条件。

而如果能证明“欺骗数”不符合“完美奇数”的任何一个限制条件，那么“完美奇数”就不可能存在。

简单来说，由于“完美奇数”不能被105整除，那么如果“欺骗数”都可以被105整除，“完美奇数”就不存在。

虽然团队还没有找到这样的限制条件，但这无异于给“证明不可能”提供了一个更好的思路。

约翰·沃伊特表示，这是个伟大的尝试。

也有网友表示，这离难题的解决又近了一点。

尼尔森与奇数完美猜想

尼尔森第一次与完美数猜想结缘，是在高中数学竞赛上。

被这个问题所吸引，他找来了各种论文研读，并在大学时期选择了数学相关的专业学习，希望能为解决奇数完美猜想带来帮助。

论文显示，尼尔森曾经在加州大学伯克利分校（UCB）工作，目前在杨百翰大学（BYU），继续进行奇数猜想相关的研究。

对于数论问题，尼尔森表示自己“正在不断取得进展”。

“只有不断到山里去，才可能最终找到钻石。”

参考链接：
https://math.byu.edu/?mtt_page=pace-nielsen
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/

— 完 —

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