算法介绍

算法是计算机处理信息的本质，因为计算机程序本质上是一个算法来告诉计算机确切的步骤来执行一个指定的任务，一般的，当算法在处理信息时，会从输入设备或数据的存储地址来读取数据，把结果写入输出设备或某个存储地址供以后在调用。

算法是独立存在的一种解决问题方法的思想。

算法的五大特性

输入：算法具有0或者多个输入
输出：算法至少有1个或多个输出
有穷性：算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成。
确定性：算法中的每一步都有确定的意义，不会出现二义性
可行性：算法的每一步都是可执行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成。

时间复杂度

时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

时间复杂度：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐进时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

对于算法进行特别具体的细致分析虽然很好，但在实践中的实际价值有限。对于算法的时间性质和空间性质，最重要的是其数量级和趋势，这些是分析算法效率的主要部分。而计量算法基本操作数量的规模函数中那些常量因子可以忽略不计，例如，可以认为3 $n^{2}$ 和100 $n^{2}$ 属于同一个量级，如果两个算法处理同样规模实例的代价分别为这两个函数，就认为他们的效率“差不多”，都为 $n^{2}$

# a+b+c=1000,a**2 + b**2 = c**2
import timestart_time = time.time()
for a in range(0, 1001):  # range() 不包括最大值for b in range(0, 10001):for c in range(0, 10001):if a + b + c == 1000 and a ** 2 + b ** 2 == c ** 2:print('a,b,c:%d,%d,%d' % (a, b, c))stop_time = time.time()print('耗时为：%f' % (stop_time - start_time))

运行结果：

对上面算法进行改进：

# a+b+c=1000,a**2 + b**2 = c**2
import timestart_time = time.time()
for a in range(0, 1001):  # range() 不包括最大值for b in range(0, 1001):c = 1000-a-bif a ** 2 + b ** 2 == c ** 2:print('a,b,c:%d,%d,%d' % (a, b, c))stop_time = time.time()print('耗时为：%f' % (stop_time - start_time))

运行结果：

第一种算法包括三种循环，而if语句中的2个基本步骤（未细分，细分是10），其时间复杂度为 T = 1000 * 1000 * 1000 * 2
当把原问题中的1000改为2000，那么时间复杂度变为 T = 2000 * 2000 * 2000 * 2
抽象化问题，即当a+b+c=N时，N仅为问题的规模，那么时间复杂度变为 T = N * N * N * 2
则最终的时间复杂度是和你解决问题的规模有关系，即时间复杂度 T(n) = n3 * 2
大O记法认为我们的时间复杂度n3 * 2（未细分）和n3 * 10（细分）具有同一个量级n3，不管其后面是乘以2还是10，其时间复杂度都是在一个级别上的，故其时间复杂度均为 T(n) = n3
用大O记法的表示就是O(n3)
同理，对于第2种算法，其时间复杂度用大O记法表示就是O(n2)

在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:

对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间
对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"

求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))

特别地,若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))

对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间
对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

乘法法则: 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1*T2=O(f(n)*g(n))

对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度
判断一个算法效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其他次要项和常数项可以忽略
一般没有特殊说明，算法的时间复杂度都指最坏时间复杂度（算法完成工作最多需要多少基本操作）

另外还有以下2个运算法则:(1) 若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

求解算法的时间复杂度的具体步骤是：

找出算法中的基本语句；

算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

计算基本语句的执行次数的数量级；

只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

用大Ο记号表示算法的时间性能。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

常见时间复杂度

数据结构

数据是一个抽象的概念，将其进行分类后得到程设计语言中的基本类型，如int，float，char等。数据元素之间不是独立的，存在特定的关系，这些关系便是结构。数据结构指数据对象中数据元素之间的关系

python给我们提供了很多现成的数据结构类型，这些系统是自定义好的，不需要我们自己去定义的数据结构叫做python的内置数据结构，比如列表，元组和字典。而有些数据组织方式，python系统里面没有直接定义，需要我们自己去定义实现这些数据的组织方式，这些数据组织称之为python的扩展数据结构，比如栈，队列等