矩阵分解：把一个矩阵分解成为矩阵连乘的形式。

矩阵的分解函数

chol	Cholesky分解
cholinc	稀疏矩阵的不完全Cholesky分解
lu	矩阵LU分解
luinc	稀疏矩阵的不完全LU分解
qr	正交三角分解
svd	奇异值分解
gsvd	一般奇异值分解
schur	舒尔分解

在MATLAB中线性方程组的求解主要基于四种基本的矩阵分解。

1、对称正定矩阵的Cholesky分解

用chol（）函数实现

1）R=chol（X）：其中X是对称正定矩阵，R是上三角矩阵，使得X=R' * R。如果X是非正定矩阵，则结果将返回出错信息。

2）[R,p]=chol（X）：返回两个参数，并不会返回错误信息。

     当X是正定对称矩阵时，返回的上三角矩阵R满足X=R' * R，且p=0；

     当X是非正定矩阵时，返回p是正整数，R是上三角形矩阵，其阶数为p-1，并满足X（1：p-1，1：p-1）=R' * R。

考虑线性方程组Ax=b时，可以做Cholesky分解，使得A=R' * R，R' * R*x=b，得到x=R\(R'\b)

>> clear all
>> a=pascal(5)a =1     1     1     1     11     2     3     4     51     3     6    10    151     4    10    20    351     5    15    35    70>> eig(a)%【对称阵A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正】ans =0.01080.18121.00005.517592.2904>> R=chol(a)R =1     1     1     1     10     1     2     3     40     0     1     3     60     0     0     1     40     0     0     0     1>> R'*Rans =1     1     1     1     11     2     3     4     51     3     6    10    151     4    10    20    351     5    15    35    70

2、一般方程的高斯消去法分解（LU分解）

将任意一个方阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，A=LU，MATLAB中用lu（）实现。

[L,U]=lu(X)     （X是一个方阵，L为“心理”下三角矩阵，U为上三角矩阵）

[L,U,P]=lu(X)    （X是一个方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为置换矩阵，PX=LU）

Y=lu(X)     （X是一个方阵，把上三角矩阵和下三角矩阵合并在矩阵Y中给出，Y的对角元素为上三角矩阵的对角元素，Y=L+U-I）

考虑线性方程组Ax=b时，可以做LU分解，使得A=LU，L* U*x=b，得到x=U\(L\b)

det(A)=det(L)*det(U)  (det为求行列式命令)

inv(A)=inv(U)*inv(L)    (inv为求匿命令)

>> clear all
>> a=[2 4 5;8 9 6;1 3 5]a =2     4     58     9     61     3     5>> [l1 u1]=lu(a)l1 =0.2500    0.9333    1.00001.0000         0         00.1250    1.0000         0u1 =8.0000    9.0000    6.00000    1.8750    4.25000         0   -0.4667>> [l2 u2 p]=lu(a)l2 =1.0000         0         00.1250    1.0000         00.2500    0.9333    1.0000u2 =8.0000    9.0000    6.00000    1.8750    4.25000         0   -0.4667p =0     1     00     0     11     0     0>> y1=lu(a)y1 =8.0000    9.0000    6.00000.1250    1.8750    4.25000.2500    0.9333   -0.4667>> l1*u1==aans =1     1     11     1     11     1     1>> p*a==l2*u2ans =1     1     11     1     11     1     1>> l2+u2-eye(3)==y1ans =1     1     11     1     11     1     1

3、舒尔分解

A=U*S*U'，用schur（）函数实现

U是一个酉矩阵（n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵。显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广）

特征值可以由矩阵S的对角块给出，U给出比特征向量更多的数值特征。

>> a=pascal(5)a =1     1     1     1     11     2     3     4     51     3     6    10    151     4    10    20    351     5    15    35    70>> [u ,s]=schur(a)u =0.1680   -0.5706   -0.7660    0.2429    0.0175-0.5517    0.5587   -0.3830    0.4808    0.07490.7025    0.2529    0.1642    0.6110    0.2055-0.4071   -0.5179    0.4377    0.4130    0.45150.0900    0.1734   -0.2189   -0.4074    0.8649s =0.0108         0         0         0         00    0.1812         0         0         00         0    1.0000         0         00         0         0    5.5175         00         0         0         0   92.2904>> u*sans =0.0018   -0.1034   -0.7660    1.3404    1.6143-0.0060    0.1013   -0.3830    2.6528    6.91420.0076    0.0458    0.1642    3.3711   18.9633-0.0044   -0.0939    0.4377    2.2789   41.67260.0010    0.0314   -0.2189   -2.2476   79.8179>> ans*u'ans =1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.00001.0000    2.0000    3.0000    4.0000    5.00001.0000    3.0000    6.0000   10.0000   15.00001.0000    4.0000   10.0000   20.0000   35.00001.0000    5.0000   15.0000   35.0000   70.0000

4、矩形矩阵的正交分解（QR分解）

把一个mxn的矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，A=Q*R

QR分解用函数qr（）实现

[Q,R]=qr(A)    （适用于满矩阵和稀疏矩阵）

[Q,R,E]=qr(A)     （R是上三角矩阵，Q是正交矩阵，E为置换矩阵，AE=QR）

R=qr(A)    （返回上三角矩阵R，R=chol（A'*A））