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一、背景

二、代码

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一、背景

数值方法被用于创建电影、游戏或其他媒体中的计算机图形。例如，生成“逼真”的烟雾、水或爆炸等动画。本文内容是对头发的模拟，要求考虑重力、风力的影响。

假设：
1、人的头部是一个半径为10厘米的球体。
2、每根头发都与球体的表面垂直相交。
3、作用在每根头发上的力包括重力（在-z方向上）和恒定的风力（在+x方向上）。

二、代码

#导入python包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.integrate
import scipy.optimize

def rhs_func_wrapper(f_x, f_g):
    '''
    输入：f_x风力、f_g重力
    输出：函数rhs_func,用于包装常微分方程
    '''
    def rhs_func(s, y):
        '''
        输入：
        s弧度（自变量）
        y即[角度θ,梯度u]（因变量）
        
        '''
        theta = y[0]
        u = y[1]
        dyds = np.zeros_like(y)
        dyds[0] = u  #一阶导
        dyds[1] = s * f_g * np.cos(theta) + s * f_x * np.sin(theta) #二阶常微分方程，对应方程(3a)
        return dyds
    return rhs_func

def shot(u0, theta_0, L, rhs_func):
    '''
    解决边界值问题（BVP）
    返回：s弧长、y包含角度和梯度的数组、sol是OdeSolution对象，表示常微分方程的解(描述弧长s和角度θ之间关系)
    '''
    y0 = np.array([theta_0, u0])
    interval = [0, L] 
    solution = scipy.integrate.solve_ivp(rhs_func,  
                                         interval, #rhs_func中参数s的范围
                                         y0,  #初始条件
                                         max_step=1e-2, #设置步长
                                         dense_output=True)  #用于生成sol，可以用于在任意点插值解
    s, y, sol = solution.t, solution.y, solution.sol
    return s, y, sol

def shot_error_wrapper(theta_0, L, rhs_func):
    '''
    计算误差
    '''
    def shot_error(u0):
        s, y, sol = shot(u0, theta_0, L, rhs_func)
        phi = y[1, -1] #提取二维数组y中的梯度的最后一个元素，作为误差
        return phi

    return shot_error

def coordinate_rhs_func_wrapper(theta_s):
    '''
    计算头发坐标的导数
    输入：theta_s表示一个描述弧长s和角度θ之间关系的OdeSolution对象
    '''
    def coordinate_rhs_func(s, y):
        '''
        输入：弧长s、y表示坐标(x,z)
        '''
        dyds = np.zeros_like(y) #初始化一个与y相同大小的数组dyds，用于存储导数
        theta = theta_s(s)[0]  #计算弧长s对应的角度theta，通过调用theta_s(s)获取，并取得返回值的第一个元素
        dyds[0] = np.cos(theta)  #求导公式
        dyds[1] = np.sin(theta)  #求导公式
        return dyds

    return coordinate_rhs_func

def hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, f_x, f_g=0.1):
    '''
    输入：theta_0_list初始角度列表，L头发长度，R人头半径，f_x风力，f_g重力（默认为0.1）
    '''
    rhs_func = rhs_func_wrapper(f_x, f_g)
    x_list = [] #初始化两个空列表用于存储解
    z_list = []
    for theta_0 in theta_0_list:  #对于每根头发的初始角度theta_0进行以下步骤
        shot_error = shot_error_wrapper(theta_0, L, rhs_func)
        u0 = scipy.optimize.brentq(shot_error, -10, 10)  #在-10~10区间内找到误差最小的初始梯度u0
        s, y, sol = shot(u0, theta_0, L, rhs_func)
        coordinate_rhs_func = coordinate_rhs_func_wrapper(sol)
        y0 = np.array([R * np.cos(theta_0), R * np.sin(theta_0)])  #设置初始条件
        interval = [0, L]
        solution = scipy.integrate.solve_ivp(coordinate_rhs_func, interval, y0,
                                             max_step=1e-2)
        x_list.append(solution.y[0]) #402个横坐标
        z_list.append(solution.y[1]) #402个纵坐标
    x = np.array(x_list)
    z = np.array(z_list)

    return x, z

def plot_hairs(x, z, R, title):
    #画人头：半径为10的圆，颜色为blue
    theta_list = np.linspace(0, 2 * np.pi, 50)
    x_head = R * np.cos(theta_list)
    y_head = R * np.sin(theta_list)
    plt.plot(x_head, y_head, c='blue')
    #依次画每根头发，颜色为gray
    for i in range(x.shape[0]): 
        x_coords = x[i, :]
        z_coords = z[i, :]
        plt.plot(x_coords, z_coords, c='gray')
    
    ax = plt.gca()  #获取坐标轴实例
    ax.set_aspect(1) #纵横单位长度比例为1:1
    plt.xlabel('x') #横坐标名称
    plt.ylabel('z') #纵坐标名称
    plt.title(title) #图的名称
    plt.show()  #打印出来

if __name__ == "__main__":
    L = 4  #头发长度：4cm
    R = 10  #人的头部，半径10cm
    theta_0_list = np.linspace(0, np.pi, 20)  #0-π按20等分切分
    
    print('Task 1 - no gravity')
    x, z = hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, 0, 0)
    assert x.shape[0] == 20 and z.shape[0] == 20 and x.shape[1] == z.shape[1]  #断言，如果不满足条件，则中断程序
    plot_hairs(x, z, R, title='Task 1 - no gravity') #生成图像

    print('Task 2 - no wind')
    x, z = hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, 0)
    assert x.shape[0] == 20 and z.shape[0] == 20 and x.shape[1] == z.shape[1] 
    plot_hairs(x, z, R, title='Task 2 - no wind') 
    
    print('Task 3 - wind (f_x=0.1)')
    x, z = hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, 0.1)
    assert x.shape[0] == 20 and z.shape[0] == 20 and x.shape[1] == z.shape[1]
    plot_hairs(x, z, R, title='Task 3 - wind (f_x=0.1)')

运行结果：