证明之三条看似显然实则需要证明的陈述

三条看似显然实则需要证明的陈述

“表面显然的数学定理：隐藏的证明之谜”

较高等的数学中，有一点让很多人感到费解：其中有一些定理看上去非常显然，简直无须证明。遇到这样的定理时，人们常常会问：“如果这都不算显然，那还有什么才算呢？”蒂莫西.高尔斯一位先前的同事对此给了一个很好的回答：如果脑子里立刻就有证明，那么这条陈述才是显然的。在本系列的剩余部分，我将给出三条陈述作为例子，它们看上去都是显然的，却无法通过这样的检验。

例子1

1.算术基本定理的内容是，每个自然数有且仅有一种被写为素数乘积的方式，不考虑先后顺序。例如，36=2×2x3×3，74=2×37，再如101本身就是一个素数（在这样的语境下，它就是单个素数的“乘积”）。观察过这些较小自然数，人们马上就会确信，根本不可能有两种不同方式把一个数表示为素数乘积。这就是这个定理看似几乎无须证明的主要论点。
但它真的有那么明显吗？7，13，19,37,47都是素数，那么，如果算术基本定理是显然的，7x13×19不等于37x47也应该是显然的。我们当然可以检验出，这两组数确实不同（任何数学家都会告诉你，其中一个比另一个更有意思(英国数学家哈代回忆印度数学家拉马努金时谈到，某次他去医院看望拉马努金，据到路上搭乘的出租车的车牌号为1729，并无特珠之处。拉马努金说：“你错了。实际上；这是能以两种方式表示为两数立方和的最小自然数。”)），但这并不说明它们显然会不相等，也不能解释为什么我们不能另外找到两种素数乘积得到相同的结果。实际上，这个定理并没有很简单的证明方法。如果你脑子里立刻就有了证明，那你的脑子一定很不寻常。

例子2

2.设想你用一段正常的绳子打了一个宽松的结，然后把绳子两端合在一起，得到了如下图所示的形状，即数学家所称的三叶结。在不把绳子切断的情况下，有没有可能把这个结解开呢？当然不可能。
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但为什么我们倾向于说“当然”呢？我们有没有立刻就想到一种论证？可能有——看起来，任何解开结的努力似乎都难以避免地会使得这个结更为繁复。然而，要把这样的直觉转换为有效的证明却是很难的。所谓显然，只不过是没有简单的方法解开这个结。难点在于需要排除所有的可能性，说明先把结变复杂再最终解开它也是不可能的。应当承认，这看起来不太可能，但是，数学中的确存在着这样的现象，甚至在日常生活中都是存在的：比如，为了把房间收拾干净，常常在开始时有必要先把它弄得更乱一些，而不是把所有东西都塞进橱里。

例子3

3.平面上的一条曲线，是指笔尖不离开纸面的情况下，你所能画出的任何东西。如果曲线永远不和自己相交，就称它为简单的，如果它最终回到起点处，就称它为闭合的。下图显示了这些定义在实际图形中的反映。图中第一条曲线既是简单的也是闭合的，在平面上围出一块区域，即曲线的内部，很明显，所有间半所合曲线都将平面分成两部分；曲线里面和曲线外面（如果把曲线本身也看作一部分，就是三个部分）。

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这真的有那么明显吗？当曲线不太复杂的时候的确如此。但如下图所示的曲线呢？如果你在靠近图形中心处选一点，点在曲线里面还是外面并不显然。你可能想，大概的确不太显然，可它终归必定会有一个里面和一个外面，哪怕曲线很复杂，在视觉上很难辨别。
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应该怎样来确证这样的看法呢？我们可能会尝试用如下的办法来区别里面和外面。我们暂时假设，确实存在曲线的里面利外面，那么每次穿过曲线的时候，必定要么是从里面穿到外面，要么是以外面穿到里面。于是，如果你想确定点P是在里面还是在外面，你只需从P出发画一条线，一直画到远离曲线的另一点Q，也就是使Q明显位于曲线外面。如果画的这条线和原曲线相交奇数次，那么P位于曲线里面，否则位于曲线外面。
这种论述的问题在于，它把许多事情当作理所当然的了。例如，如果你从P出发画另一条线，画到曲线外另一点R，你怎么知道结果不会不同呢？（结果不会不同，但这需要证明。）实际上，任意简单闭合曲线都有里面和外面这一命题，正是一个著名的数学定理，称作若尔当曲线定理。无论它看起来多么显然，它都需要证明，而且任何我们已知的证明都非常困难，远远超出了本文章的论述范围。