Problem: 2376. 统计特殊整数

题目

如果一个正整数每一个数位都是 互不相同 的，我们称它是 特殊整数 。

给你一个 正 整数 n ，请你返回区间 [1, n] 之间特殊整数的数目。

示例 1：

输入：n = 20
输出：19
解释：1 到 20 之间所有整数除了 11 以外都是特殊整数。所以总共有 19 个特殊整数。
示例 2：

输入：n = 5
输出：5
解释：1 到 5 所有整数都是特殊整数。
示例 3：

输入：n = 135
输出：110
解释：从 1 到 135 总共有 110 个整数是特殊整数。
不特殊的部分数字为：22 ，114 和 131 。

提示：

1 <= n <= $2\ast 10^9$

思路

题目要求我们统计n一下所有的特殊整数，即每一个数位都是互不相同的整数的数量 ，我们可以使用递归去构造这样这些整数

我们声明四个参数

• i: 当前构造的那一位
• mask:这是一个集合，记录那些数被选中，哪些数没被选中； $mask|1<<i$ 表示i位被选中，KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 9: mask>>i &̲ 1 表示i位有无被选中
• is_limit:是否受到前面一个数的影响，如果被影响了，就只能填high[i],否则可以填0-9所有数，(eg:123,如果第一位我构造为0，则第二位只能填0，1，2，如果第一位构造为0，第二位可以填入0-9)
• is_num:前一位数是否参与了构造，如果没参与，当前位置可以构造也可以不构造，如果前面位置构造了，那么当前位置必须构造

如果当前构造到了最后一位，如果此次搜索构造了数，则返回1，否则返回0

我们先计算所有“开头几位不参与构造的情况”，再加上“参与构造的情况”，就是我们最终的答案

我们计算下一次递归会构造的情况的时候，会判断is_num,如果他是true说明前面一位参与构造了，当前位可以是0-9，否则前面一位不参与构造，当前位只能是1-9；再判断当前为是否受到前一位的影响，参考is_limit的定义

接着我们在当前位置允许构造的范围内构造当前位的数，如果这个数没有出现在集合中，我们就继续递归，否则，这个数就不符合特殊整数的定义了，结束就ok

Code

class Solution:
    def countSpecialNumbers(self, n: int) -> int:
        s = str(n)
        @cache
        def f(i,mask,is_limit,is_num):
            if i==len(s):
                return int(is_num)
            
            res = 0
            if not is_num:
                res = f(i+1,mask,False,False)
            
            low = 0 if is_num else 1
            up = int(s[i]) if is_limit else 9
            
            for d in range(low,up+1):
                if(mask>>d & 1) == 0:
                    res+=f(i+1,mask | (1<<d),is_limit and d==up,True )
            return res
        return f(0,0,True,False)