向量的内积外积哈达玛积

1.向量的内积

1.1 定义

从代数角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。

表示形式： $A^TB$ 、 $< A, B >$

1.2 求解方式

代数形式

向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

$\vec a=[a_1,a_2,...a_n]$ $\vec b=[b_1,b_2,...b_n]$

a和b的点积公式为：
$\vec a·\vec b=\sum\limits^n\limits_{i=1}a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

举个栗子：

两个三维向量 $\left[1,3,-5\right]$ 和 $[4, - 2, - 1]$ 的点积是:

$\left[1,3,-5\right]·[4,−2,−1]=1*4+3*(-2)+(-5)*(-1)=4-6+5=3$

几何形式

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \;$

这里 $|\vec{x}|$ 表示 $\vec{x}$ 的模(长度)， $\theta$ 表示两个向量之间的角度。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}$

1.3 几何意义

$\vec{\mathbf A} \cdot \vec{\mathbf B} = |\vec{\mathbf A}| \, |\vec{\mathbf B}| \cos \theta \;$

欧氏空间中向量 $\mathbf A$ 在向量 $\mathbf B$ 上的标量投影是指: $A_B=|\mathbf A|\cos\theta$

在这里插入图片描述

直观上看是：向量 $\mathbf A$ 在向量 $\mathbf B$ 的投影与 $\mathbf B$ 的模相乘之后的大小。

两个向量越是相似，内积就越大(夹角就越小)。

Q：为什么在度量两个向量的相似度时，选择使用cos值，而不是向量的内积呢？

A：cos有归一化的作用

2.向量的外积

2.1 定义

两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。

对于向量a和向量b：

$\vec a=[x_1,y_1,z_1], \vec b=[x_2,y_2,z_2]$

向量a和向量b外积公式为：
$\times b = \left| \begin{array}{cccc} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right|=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k$
其中 $i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)$ ，根据 $i 、 j 、 k$ 间关系，有：
$\times b = (y_1z_2-y_2z_1,\ -(x_1z_2-x_2z_1),\quad x_1y_2-x_2y_1)$