交换求和顺序的条件

news/2024/5/22 10:12:01

交换求和顺序

文章目录

  • 交换求和顺序
    • 应用场景
    • 可以交换求和的条件(部分内容来源ChatGPT)
    • 不能交换的情况
    • 其他可以参考的资料

应用场景

在多重求和中,交换求和顺序的最常见情况是需要改变计算某个表达式(通常是连乘或连加)的次序。换句话说,当你在求和时无法通过一个公式直接计算出结果时,可以考虑交换求和顺序; 或者,当交换求和顺序有助于简化计算或消除不必要的计算时,也可以考虑交换求和顺序。一般来说,如果你发现改变求和顺序后能够使问题更容易理解或计算,那么就可以考虑交换求和顺序。
(总之,就是你需要用的时候就会来找这个知识点的)在这里插入图片描述

可以交换求和的条件(部分内容来源ChatGPT)

结论仅供参考

求和顺序可以在以下两种情况下交换:

  1. 求和符号中的上下限与被求和式子中的变量无关。

对于这种情况,交换求和顺序不会改变求和结果。例如, ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n a i , j \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{i,j} i=1nj=1mai,j=j=1mi=1nai,j 就是一种典型的情况,因为 ∑ i = 1 n \sum_{i=1}^n i=1n ∑ j = 1 m \sum_{j=1}^m j=1m 的上下限1,n,m都和 a i , j a_{i,j} ai,j 无关。

直观理解这种情况,假设A是一个矩阵,里面的元素是 a i , j a_{i,j} ai,j,先对行求和再对列求和与先对列求和再对行求和效果一样

  1. 被求和式子满足柯西-施瓦茨定理(Cauchy-Schwarz Inequality)。

柯西-施瓦茨定理的一般形式是:

( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) , \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right), (i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2),

其中 a i a_i ai b i b_i bi 是任意实数或复数。该定理表明,对于任意的数列 ( a i ) (a_i) (ai) ( b i ) (b_i) (bi),它们的内积平方不大于它们的长度平方之积。

基于柯西-施瓦茨定理,如果被求和式子满足以下条件:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∣ a i , j ∣ 2 < ∞ 和 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∣ b i , j ∣ 2 < ∞ , \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}|^2 < \infty \quad \text{和} \quad \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |b_{i,j}|^2 < \infty, i=1nj=1mai,j2<i=1nj=1mbi,j2<

那么我们可以交换求和顺序,得到:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j b i , j = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n a i , j b i , j . \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} b_{i,j} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{i,j} b_{i,j}. i=1nj=1mai,jbi,j=j=1mi=1nai,jbi,j.

接下来,我们可以利用柯西-施瓦茨定理推导出这个结论。首先,注意到对于任意的 j j j k k k

∑ i = 1 n ∣ a i , j b i , k ∣ ≤ ∑ i = 1 n ∣ a i , j ∣ 2 ∑ i = 1 n ∣ b i , k ∣ 2 , \sum_{i=1}^n |a_{i,j} b_{i,k}| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_{i,j}|^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n |b_{i,k}|^2}, i=1nai,jbi,ki=1nai,j2 i=1nbi,k2 ,

因此,如果满足 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∣ a i , j ∣ 2 < ∞ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}|^2 < \infty i=1nj=1mai,j2< ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∣ b i , j ∣ 2 < ∞ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |b_{i,j}|^2 < \infty i=1nj=1mbi,j2<,那么有:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j b i , j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( ∑ k = 1 m a i , k b k , j ) b i , j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ k = 1 m a i , k b k , j b i , j . \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} b_{i,j} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left(\sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j}\right) b_{i,j} \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j}. \end{aligned} i=1nj=1mai,jbi,j=i=1nj=1m(k=1mai,kbk,j)bi,j=i=1nj=1mk=1mai,kbk,jbi,j.


结论中第一个等号是通过把 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j b i , j \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} b_{i,j} i=1nj=1mai,jbi,j 中的 b i , j b_{i,j} bi,j 提出来,然后利用求和符号的线性性质得到的。具体来说,我们有:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j b i , j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( ∑ k = 1 m a i , k b k , j ) b i , j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ k = 1 m a i , k b k , j b i , j . \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} b_{i,j} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left(\sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j}\right) b_{i,j} \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j}. \end{aligned} i=1nj=1mai,jbi,j=i=1nj=1m(k=1mai,kbk,j)bi,j=i=1nj=1mk=1mai,kbk,jbi,j.

这个等式的第一步,是因为将 b i , j b_{i,j} bi,j 提出来后可以得到:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j b i , j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j ( b i , j + 0 + 0 + ⋯   ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j b i , j + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j ⋅ 0 + ⋯ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( ∑ k = 1 m a i , k b k , j ) b i , j . \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} b_{i,j} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} (b_{i,j}+0+0+\cdots) \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} b_{i,j} + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} \cdot 0 + \cdots \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left(\sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j}\right) b_{i,j}. \end{aligned} i=1nj=1mai,jbi,j=i=1nj=1mai,j(bi,j+0+0+)=i=1nj=1mai,jbi,j+i=1nj=1mai,j0+=i=1nj=1m(k=1mai,kbk,j)bi,j.

这里的 0 0 0 表示任何一个不依赖于 i i i j j j 的数,因此它们可以被提出来。在第二步中,我们展开了 ∑ k = 1 m a i , k b k , j \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} k=1mai,kbk,j,然后再利用求和符号的线性性质将其和 b i , j b_{i,j} bi,j 相乘,得到:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( ∑ k = 1 m a i , k b k , j ) b i , j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ k = 1 m a i , k b k , j b i , j . \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left(\sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j}\right) b_{i,j} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j}. \end{aligned} i=1nj=1m(k=1mai,kbk,j)bi,j=i=1nj=1mk=1mai,kbk,jbi,j.

这里的关键是利用了求和符号的线性性质,即对于任意常数 c c c 和两个可交换求和符号 ∑ \sum ∑ ′ \sum' ,有:

∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c a i , j = c ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i , j = c ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m a i , j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m c a i , j . \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c a_{i,j} = c \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i,j} = c \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{i,j} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m c a_{i,j}. i=1mj=1ncai,j=ci=1mj=1nai,j=cj=1ni=1mai,j=j=1ni=1mcai,j.

在这个式子中,我们可以把第二个求和符号 ∑ \sum 看成一个常数,然后和 b i , j b_{i,j} bi,j 相乘,就得到了结论中的第一个等号。


现在,我们可以交换求和顺序:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ k = 1 m a i , k b k , j b i , j = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n ∑ k = 1 m a i , k b k , j b i , j , \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j} \\ =& \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j}, \end{aligned} =i=1nj=1mk=1mai,kbk,jbi,jj=1mi=1nk=1mai,kbk,jbi,j,

接下来,我们可以继续化简右边的式子:

∑ j = 1 m ∑ i = 1 n ∑ k = 1 m a i , k b k , j b i , j = ∑ j = 1 m ∑ k = 1 m ∑ i = 1 n a i , k b k , j b i , j = ∑ j = 1 m ∑ k = 1 m b k , j ( ∑ i = 1 n a i , k b i , j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i , j ( ∑ k = 1 m b k , j b i , k ) . \begin{aligned} \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j} &= \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n a_{i,k} b_{k,j} b_{i,j} \\ &= \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m b_{k,j} \left(\sum_{i=1}^n a_{i,k} b_{i,j}\right) \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} \left(\sum_{k=1}^m b_{k,j} b_{i,k}\right). \end{aligned} j=1mi=1nk=1mai,kbk,jbi,j=j=1mk=1mi=1nai,kbk,jbi,j=j=1mk=1mbk,j(i=1nai,kbi,j)=i=1nj=1mai,j(k=1mbk,jbi,k).

最后一个等号是因为我们再次利用了柯西-施瓦茨定理。由此可见,当被求和式子满足柯西-施瓦茨定理时,我们可以交换求和顺序,而且能够得到一种更简单的形式。

不能交换的情况

除了上述两种情况,一般情况下不能随意交换求和顺序。例如,对于 i = 1 , 2 , 3 i=1,2,3 i=1,2,3 j = 1 , 2 j=1,2 j=1,2,假设 a i , j = i + j a_{i,j}=i+j ai,j=i+j,则:

∑ i = 1 3 ∑ j = 1 2 a i , j = ( 1 + 2 ) + ( 1 + 3 ) + ( 2 + 2 ) + ( 2 + 3 ) + ( 3 + 2 ) + ( 3 + 3 ) = 18 , \begin{aligned} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^2 a_{i,j} &= (1+2) + (1+3) + (2+2) + (2+3) + (3+2) + (3+3) \\ &= 18, \end{aligned} i=13j=12ai,j=(1+2)+(1+3)+(2+2)+(2+3)+(3+2)+(3+3)=18,

但是,如果我们交换求和顺序,就会得到不同的结果:

∑ j = 1 2 ∑ i = 1 3 a i , j = ( 1 + 1 + 2 ) + ( 2 + 2 + 3 ) = 11. \begin{aligned} \sum_{j=1}^2 \sum_{i=1}^3 a_{i,j} &= (1+1+2) + (2+2+3) \\ &= 11. \end{aligned} j=12i=13ai,j=(1+1+2)+(2+2+3)=11.

因此,在一般情况下,求和顺序不能任意交换。

其他可以参考的资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/553703824
https://zhuanlan.zhihu.com/p/499839696


http://lihuaxi.xjx100.cn/news/1190672.html

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